Este problema foi enviado por um visitante do site www.paulomarques.com.br  pedindo a solução. Trata-se da questão 16 de uma  prova do Simulado da Unicamp - vestibular 2011. Vamos ao enunciado e à resolução:

Nota: este é o arquivo de número 400 do site! Este site está no ar desde 1995! Visite o meu atual provedor www.algosobre.com.br 
o qual gentilmente hospeda o meu site nos seus servidores. 


Solução:

De forma a facilitar a resolução, construímos a figura abaixo onde AB = 4.
Seja BC = x ; nestas condições, pelo enunciado da questão concluímos que EF = x + 1, pois a base da escada escorregou 1 metro.

Pela simples observação do triângulo retângulo ABC, poderemos escrever, usando o Teorema de Pitágoras:
4² + x² = AC² 

Como o triângulo DEF é retângulo em E e o ângulo F é igual a 45º , concluímos que o ângulo D vale também 45º, o que nos permite afirmar que o triângulo DEF é isósceles e, por consequência, DE = EF = x + 1.

Então, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo DEF, teremos:

(x + 1)² + (x + 1)² = DF²

Lembrando que trata-se da mesma escada (que escorregou 1 metro), é claro que DF = AC.

Então, a igualdade acima pode ser reescrita como:

(x + 1)² + (x + 1)² = AC²

Então, comparando as duas igualdades acima em negrito vermelho  poderemos concluir facilmente que:

4² + x² = (x + 1)² + (x + 1)²

Ora, esta é uma equação do segundo grau; vamos resolvê-la:

16 + x² = 2(x + 1)² 
Desenvolvendo o segundo membro, fica:
16 + x² = 2(x² + 2x + 1)
16 + x² = 2x² + 4x + 2
Simplificando e igualando a zero, vem:
x² + 4x - 14 = 0

Aplicando a fórmula de Bhaskara ,


encontraremos as raízes x' = -2 + 3.2^1/2 ou x'' = -2 - 3.2^1/2 
Nota: utilizei expoente para evitar o símbolo de raiz quadrada, mais difícil de escrever neste momento pelo teclado. Afinal, estou com pressa para assistir o glorioso FLUMINENSE jogando contra o Guarani de Campinas. O FLUZÃO continua líder do Campeonato Brasileiro!

Observe que a raiz x'' não serve ao problema pois é um número negativo e o problema em questão refere-se ao cálculo de
distância, portanto a resposta deve ser um número positivo.

Então, como a distância entre a parede e o muro é igual a x + 1, teremos que a distância procurada será igual a:
EF = x + 1 = -2 + 3.2^1/2 + 1 = 3.2^1/2 - 1 

EF = 3.2^1/2 - 1 (3 vezes a raiz quadrada de 2, menos 1).

Então, a alternativa correta é a de letra B.

Veja AQUI um outro problema sobre escadas, um pouquinho mais "puxado" do que este!

Paulo Marques, 05/09/2010 - Feira de Santana - BA

VOLTAR