Transformações Afins na Reta III

Já analisamos a translação e a simetria central na reta. Agora é a vez da HOMOTETIA, uma transformação afim na reta de grande importância.
Antes, entretanto, vamos falar de ponto fixo ou ponto invariante de uma transformação geométrica.
Já sabemos que as transformações geométricas na reta são definidas de uma forma genérica por uma equação do 1º grau do tipo 
x' = ax + b, com a ¹ 0, onde x' é a abcissa do transformado do ponto de abcissa x.
Diz-se que x é um PONTO FIXO (ou PONTO INVARIANTE) de uma transformação geométrica na reta, se o transformado do ponto x é o próprio ponto x, ou seja, x' = x.
Nestas condições, sendo x' = ax + b, fazendo x' = x, vem:
x = ax + b \ x - ax = b \ x(1 - a) = b \ x = b / (1 - a), para a ¹ 1.

Exemplo:
Seja a transformação T definida por x' = 3x + 18. Qual o ponto fixo dessa transformação?
Ora, fazendo x' = x , vem: x = 3x + 18 de onde conclui-se que x = - 9.
Realmente, se determinarmos T(-9) obteremos:
T(-9) = 3(-9) + 18 = -9, ou seja: o transformado do ponto de abcissa -9 pela transformação T é o próprio ponto.

Exercício Resolvido:
UFBA - 73
O ponto fixo da transformação afim que a x faz corresponder x' = 3x - 5 é:
a) 5/3
b) -5/3
c) -5/2
d) 5/2
e) nenhuma das alternativas anteriores

SOLUÇÃO:
Pela definição conhecida, temos:
x = 3x - 5 \ x - 3x = -5 \ -2x = -5 \ x = -5 / -2 = 5/2. Logo, alternativa D.

Vamos então, estudar a  HOMOTETIA NA RETA:

O termo homotetia segundo o Novo Dicionário Brasileiro de Melhoramentos, 7ª edição, é também conhecido como homotesia e definido como "relação entre duas séries de pontos, tal que os de cada uma estão dois a dois em linha reta com um centro comum e separados destes por distancias de razão constante".
Complicado, não é? Vamos simplificar as coisas, usando a linguagem matemática? Vamos lá!
Consideremos uma reta r e um ponto P Î r. Seja C Î r um ponto denominado centro da homotetia. Consideremos ainda um número real k ¹ 0, denominado razão da homotetia. Entenderemos como HOMOTETIA, a transformação geométrica H que transforma o ponto P num ponto P' da reta r tal que:
P' - C = k (P - C)
Sendo x', c e x as abcissas dos pontos P' , C e P respectivamente, podemos então escrever:
x' - c = k(x - c) \ x' = kx - kc + c = kx + c(1 - k).
Portanto, x'= kx + c(1 - k) é a equação geral de uma homotetia na reta, de centro c e razão k .
Vamos analisar a equação da homotetia:

a) centro na origem: c = 0
Substituindo na equação acima c = 0 vem: x' = kx e temos nesse caso uma homotetia dita LINEAR.

b) razão da homotetia igual a 1 (k = 1)
Neste caso, teremos x' = x e temos nesse caso que a homotetia é uma transformação INVARIANTE ou seja, todo ponto é transformado em si mesmo.

c) razão da homotetia igual a (-1) (k = - 1)
Substituindo na equação geral da homotetia, teremos x'= (-1).x + c[1 - (-1)]
Logo, nesse caso, x' = 2c - x , que como sabemos da aula anterior, trata-se da fórmula da simetria.
Então, as homotetias de razão igual a (- 1), são simetrias.
Podemos então generalizar que as simetrias são simplesmente homotetias de razão igual a menos um.

EXEMPLOS:

1 - Qual o transformado do ponto de abcissa 5 por uma homotetia de centro 10 e razão 2?

SOLUÇÃO:
Teremos: x'= kx + c(1 - k) = 2.5 + 10(1 - 2) = 0.
Resp: a homotetia transforma o ponto de abcissa 5 no ponto de abcissa 0.

2 - Qual o centro e a razão da homotetia definida por x' = 10x - 30?

SOLUÇÃO:
Vamos comparar a equação dada, com a equação geral das homotetias. Temos: x' = kx + (1 - k)c = 10x - 30
Para que a igualdade acima seja verdadeira, deveremos ter: k = 10 e (1 - k)c = - 30
Substituindo o valor de k=10, vem: -9c = - 30 e portanto c =(-30)/(-9) = 10/3.
Resposta: razão 10 e centro 10/3.

3 - Qual o ponto invariante (ou ponto fixo) de uma homotetia definida pela sua equação geral x' = kx + (1 - k)c ?

SOLUÇÃO:
Como já sabemos, deveremos ter x'=x. Logo, x = kx + (1 - k)c
x - kx = (1 - k)c \ x(1 - k) = (1 - k)c.
Temos então:
1º caso: k = 1 Þ a igualdade é verdadeira para todo valor de x e isto significa que todo ponto é invariante.
2º caso: k ¹ 1 Þ x = c e, neste caso, concluímos que só existe um ponto fixo ou invariante que é o centro da homotetia.

Nota: Dada a homotetia x' = mx + n, podemos concluir que a razão da homotetia é igual a m  (k = m). Considerando-se que o centro c da homotetia é um ponto fixo (ou invariante), para determinar o centro da homotetia, basta fazer x = c.

Exemplo:
Qual a razão e o centro da homotetia definida pela equação x' = 5x - 40?

SOLUÇÃO:
a) a razão da homotetia é igual a 5
b) para determinar o centro, basta fazer x' = x. Logo, x = 5x - 40 \ x = 10.
Portanto, a expressão dada é uma homotetia de razão k = 5 e centro no ponto da reta, de abscissa c = 10.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA, 25 de março de 1995

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