Proporcionalidade entre grandezas

1 - O que é uma grandeza?

Entende-se por grandeza, como sendo qualquer entidade susceptível de ser medida.
As grandezas classificam-se em dois tipos fundamentais:

Grandezas escalares - aquelas que ficam perfeitamente caracterizadas apenas pelo conhecimento de um número que expresse a sua medida numa determinada unidade.
Exemplos: massa, 20 kg ; volume, 12 m3 ; comprimento, 50 m ; tempo, 60 s, etc.

Grandezas vetoriais - aquelas que para ficarem perfeitamente caracterizadas, necessitam além de um número que expresse a sua medida numa determinada unidade (o seu módulo), que sejam especificados o sentido e a direção. São representadas através Vetores.

Exemplos: força, velocidade, aceleração, intensidade de campo elétrico, etc.

Nota: no que se segue, poderemos nos referir a grandezas vetoriais, sem levar em conta o seu aspecto vetorial. Explico: ao nos referirmos a uma velocidade (grandeza vetorial) de 80 km/h, por exemplo, não estaremos interessados , na sua direção ou no seu sentido, e sim unicamente no seu módulo, ou seja 80 km/h. O tratamento vetorial da velocidade, interessaria, se estivéssemos dando uma abordagem do ponto de vista da Física. Para uma abordagem de proporcionalidade, como nos propomos aqui, não necessitamos de tal enfoque.
É conveniente ressaltar de passagem, que ao nos referirmos à velocidade, por exemplo, estaremos nos referindo sempre à velocidade média, uma vez que a velocidade instantânea de um móvel no tempo t = t0, teria que ser calculada usando-se Derivadas.

2 - Proporcionalidade direta

Sejam G1 e G2 , duas grandezas dependentes das variáveis X e W, respectivamente, que assumem valores conforme tabela abaixo:

G1

X1

X2

X3

X4

...

Xn

G2

W1

W2

W3

W4

...

Wn

Dizemos que G1 e G2 estão em proporção direta quando,

Onde k é denominado constante de proporcionalidade.

Das igualdades acima, podemos inferir que genericamente, teremos X / W = k, de onde vem,
X = k . W, sendo k a constante de proporcionalidade.
Dizemos então, que a variável X é diretamente proporcional à variável W, segundo a constante k.

NOTA: se Y é diretamente proporcional a X, indicamos simbolicamente isto por:
Y a X . (a = alfa , primeira letra do alfabeto grego).

Exemplo:
Considerando que um CD custa $0,80 é razoável supor que:

Quantidade

2

5

8

10

20

30

50

100

Preço total ( $)

1,60

4,00

6,40

8,00

16,00

24,00

40,00

80,00

Observamos que as variáveis PREÇO e QUANTIDADE, são diretamente proporcionais, pois:
1,60/2 = 4,00/5 = 6,40/8 = 8,00/10 = 16,00/20 = 24,00/30 = ... = 0,80, que, no caso é a constante de proporcionalidade.
Podemos então concluir que a Quantidade Q e o Preço P, no exemplo acima, estão relacionados pela sentença P = 0,80 . Q . Assim, conhecido Q, determinaríamos o valor de P usando a fórmula anterior. Exemplo: 200 CDs custariam $160,00.

Cabe aqui, entretanto, um comentário:
E se fossem 1.000.000.000.000 (um trilhão de CDs?). Pela fórmula, chegaríamos a:
P = 1.000.000.000.000 x 0,80 = $800.000.000.000, ou seja 800 bilhões! De sã consciência, você pagaria 800 bilhões por 1 trilhão de CDs?
Acho que não! Primeiro, porque 800 bilhões, são 800 bilhões e segundo, porque eu acho que nem existe
1 trilhão de CDs no mundo!

Portanto, é conveniente lembrar que ao aplicarmos um modêlo matemático para traduzir um determinado problema, temos de estar atentos aos limites de validade do modêlo. No exemplo acima, por exemplo, poderíamos considerar que talvez 1000 CDs fosse o nosso limite (talvez um pouco mais), o que nos levaria a interpretar o nosso modêlo, ou seja, a equação P = 0,80.Q com as limitações
Q £ 1000 e P £ 800.

3 - Proporcionalidade inversa

Sejam G1 e G2 , duas grandezas dependentes das variáveis X e W, respectivamente, que assumem valores conforme tabela abaixo:

G1

X1

X2

X3

X4

...

Xn

G2

W1

W2

W3

W4

...

Wn

Dizemos que G1 e G2 estão em proporção inversa quando,
X1.W1 = X2.W2 = X3.W3 = X4.W4 = ... = Xn.Wn = k = constante
Onde k é a constante de proporcionalidade.

Das igualdades acima, podemos inferir que genericamente, teremos X . W = k, sendo k a constante de proporcionalidade.
Dizemos então, que as variáveis X e Y são inversamente proporcionais, segundo a constante k.

Exemplo:
Considerando que um carro terá de percorrer a distancia de 240 km entre duas cidades, é razoável supor que:

Velocidade (km/h)

20

40

50

80

100

125

200

240

Tempo de duração (h)

12

6

4,8

3

2,4

1,92

1,2

1

Observamos que as variáveis VELOCIDADE e TEMPO, são inversamente proporcionais, pois:
20.12 = 40.6 = 50.4,8 = 80.3 = 100.2,4 = 125.1,92 = 200.1,2 = 240.1 = k , onde k no caso é a constante de proporcionalidade.

Podemos então concluir que, no exemplo acima, a VELOCIDADE V e o TEMPO T, estão relacionados pela sentença V.T = 240. Assim, conhecido V, determinaríamos o valor de T usando a fórmula anterior.

Aqui, também, vale a observação do item anterior. Por exemplo, se a velocidade fosse 100.000 km/h, obteríamos um tempo igual a 0,0024h = 8,64 segundos! Ora, isto é um absurdo no mundo material!

Portanto, é conveniente relembrar que ao aplicarmos um modêlo matemático para traduzir um determinado problema, temos de estar atentos aos limites de validade do modêlo. No exemplo acima, por exemplo, poderíamos considerar que talvez 200 km/h fosse o nosso limite (talvez um pouco mais), o que nos levaria a interpretar o nosso modêlo, ou seja, a equação V.T = 240 com as limitações
V £ 200 e T £ 1,2h.

Notas:
Se Y é diretamente proporcional a X, indicamos simbolicamente: Y a X.
Se Y é inversamente proporcional a X, podemos dizer que Y é diretamente proporcional a 1/X e indicamos :
Y a (1 / X).

4 - Resolvendo problemas

14 trabalhadores, trabalhando 10 dias de 8 horas, conseguem fazer 56000 metros de certo tecido. Quantos dias de 6 horas serão necessários a 9 trabalhadores para fazerem 32400 metros do mesmo tecido?

Solução:
Sejam:
T = número de trabalhadores
D = número de dias
H = número de horas de trabalho por dia
L = comprimento de tecido

é plausível supor que:
D aumentando, T diminui, portanto D a 1 / T
D aumentando, H diminui, portanto D a 1 / H
D aumentando, L aumenta, portanto, D a L

Assim, é que poderemos escrever:
D = k.(1 / T).(1 / H) . L = k.L / T.H, ou seja: D = k . L / T . H

Para determinar o valor da constante k, substituamos D, T, H e L pelos valores conhecidos:
10 = k.56000 / 14.8 . Daí tiramos k = 10.14.8 / 56000 = 0,02

Portanto, a fórmula em vermelho acima, fica:
D = 0,02.L / T.H

Logo, usando os valores do enunciado, poderemos escrever:
D = 0,02. 32400 / 9.6 = 648 / 54 = 12
Portanto, serão necessários 12 dias.

Agora resolva este:

20 trabalhadores, em 10 dias de 8 horas, conseguem fazer 16000 metros de certo tecido. Quantos dias de 10 horas seriam necessários para 10 trabalhadores, fazerem 32000 metros do mesmo tecido?

Resposta: 32 dias

NOTA: observe que não usamos aqui o conceito de regra de três (rule of three - em inglês) e nem falamos dela, e, entretanto, conseguimos resolver os problemas.

Encontrei as seguintes preciosidades, na revista RPM n.º 9 / 2º semestre 1986, publicação da Sociedade Brasileira de Matemática - num artigo do Prof. Geraldo Ávila - pag. 8, as quais reproduzo sintetizadas e adaptadas:
  1. a regra de tres, ao que tudo indica, surgiu na Índia e entrou na Europa, através dos árabes.
  2. ela foi muito usada no comércio, por vários séculos, porém como simples regra.
  3. Brahmagupta - matemático indiano - já no século VII da nossa era - usava as técnicas da regra de tres.
  4. os livros modernos de Matemática, americanos, já não incorrem no mesmo arcaísmo de abordagem, ainda presentes nos livros brasileiros e, não usam nem mesmo, a expressão "rule of three" (regra de tres).
  5. A propósito, recentemente o Prof. Ralph P. Boas, da "Northwestern University" , celebrou este fato em versos publicados na revista "American Mathematical Monthly" - 02/86 - pag. 115 - e que reproduzimos a seguir:

What has become of the rule of the three,
Simple or double, once popular pair?
Students today no longer see
Alligation, or tret and tare.

O que aconteceu com a regra de tres,
Simples ou composta, outrora um par tão popular?
Os estudantes de hoje não mais reconhecem
"Alligation" ou "tret" e "tare" .

"Alligation" , "tret" e "tare" , em inglês, referem-se, de uma certa forma, a um antigo processo de resolução de problemas, nos EUA.

Com estes versos deixamos aqui nossa sugestão de que o nome "regra de tres" seja abolida também entre nós.

Prof. Geraldo Ávila

Feira de Santana, 12 de janeiro de 2000 - PAULO MARQUES.

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