Derivadas I

Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0

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Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + D x0 :

Se você não entendeu porque o quociente acima é igual à tg a , revise TRIGONOMETRIA, clicando AQUI. 
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Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando D x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:

Notas: 
a) a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos  y ' ou  dy/dx, notação introduzida por Wilhelm Gottfried Leibniz - matemático alemão (1646 - 1716), contemporâneo do físico e matemático inglês Isaac Newton ((1642-1727). As proezas dos dois gênios no Cálculo Infinitesimal, você poderá ler no livro e: A HISTÓRIA DE UM NÚMERO, de autoria de Eli Maor - Editora RECORD , traduzido para o português.

b) a derivada da derivada de uma função, é conhecida com segunda derivada e é representada pelos símbolos y '' ou d2y/dx2 .

Observe que quando D x0 ® 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abscissa), e, neste caso, o ângulo SPQ = a .tende ao valor do ângulo b .
Ora, quando D x0 ® 0 , já vimos que o quociente D y0 / D x0 representa a derivada da função 
y = f(x) no ponto x0. Mas, o quociente D y0 / D x0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo SPQ = a , onde P é o vértice do ângulo. 
Quando D x0 ® 0 , o ângulo SPQ = a , tende ao ângulo b .

Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo b . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.

Podemos escrever então:
f '(x0) = tgb

Guarde então a seguinte conclusão importante:

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto
x = x0.

Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma!

Vamos lá!

Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima.

Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10.

Temos neste caso:
y = f(x) = x2
f(x + D x) = (x + D x)2 = x2 + 2x.D x + (D x)2
f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2
D y = f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2

Portanto,

Observe que colocamos na expressão acima, D x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.
Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x .
Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.

Qual a interpretação geométrica do resultado acima?

Ora, a derivada da função y = x2 , no ponto de abscissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20,  conforme teoria vista acima.

Ora, sendo b o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , b será um ângulo tal que tg b = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que b » 87º 8' 15" .

Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2 , no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a b » 87º 8' 15" .

Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de abscissa x = 1000 .
Resposta: 5.

Paulo Marques - Feira de Santana - BA - 02 de janeiro de 2000.

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