Contando elementos II

Foi feita uma pesquisa sobre a preferencia de um grupo de pessoas por determinado tipo de música, e concluiu-se que:
43 pessoas gostavam de SAMBA.
6 pessoas gostavam apenas de ROCK.
15 pessoas gostavam de SAMBA e ROCK.
8 pessoas gostavam de ROCK e JAZZ.
13 pessoas gostavam de SAMBA e JAZZ.
3 pessoas gostavam apenas de ROCK e JAZZ.
40 pessoas não gostavam de ROCK.
Ninguém gostava apenas de JAZZ.

Podemos concluir que:

(01) 86 pessoas foram consultadas.
(02) 24 pessoas gostavam de ROCK.
(04) 36 pessoas gostavam de SAMBA ou ROCK, mas não gostavam de JAZZ.
(08) 21 pessoas gostavam de pelo menos dois tipos de música.
(16) 12 pessoas não gostavam de nenhum dos três tipos de música citadas.

Solução:

Sejam os conjuntos A = {gostam de SAMBA}, B = {gostam de ROCK} e C = {gostam de JAZZ}.




Pelo enunciado e observando a figura acima, poderemos escrever:

x + y + w + p = 43 (número de pessoas que gostam de SAMBA).
z = 6 (número de pessoas que gostam apenas de ROCK)
y + w = 15 (número de pessoas que gostam de SAMBA e ROCK).
w + q = 8 (número de pessoas que gostam de ROCK e JAZZ).
p + w = 13 (número de pessoas que gostam de SAMBA e JAZZ).
q = 3 (número de pessoas que gostam de ROCK e JAZZ).
x + p + r + s = 40 (número de pessoas que não gostam de ROCK).
r = 0 (ninguém gostava apenas de JAZZ).

Substituindo os valores conhecidos nas igualdades acima, vem:

Como q = 3, vem de w + q = 8 que w = 5.

Como y + w = 15 e w = 5, vem que y = 10.

Como w = 5 e p + w = 13, vem que p = 8.

Ora, como y = 10, w = 5 e p = 8, vem de x + y + w + p = 43 que:
x + 10 + 5 + 8 = 43 \ x = 20.

Substituindo os valores conhecidos na igualdade x + p + r + s = 40, vem:
20 + 8 + 0 + s = 40 \ s = 12.

Resumindo os valores encontrados:
x = 20, y = 10, z = 6, w = 5, p = 8, q = 3, r = 0 e s = 12.

Vamos analisar cada alternativa, utilizando os valores conhecidos acima:

(01) 86 pessoas foram consultadas.
O número total de pessoas consultadas será igual a x + y + z + w + p + q + r + s.
Substituindo os valores conhecidos, vem:
20 + 10 + 6 + 5 + 8 + 3 + 0 + 12 = 64
Portanto, a alternativa (01) é falsa.

(02) 24 pessoas gostavam de ROCK.
Sendo B = {gostam de ROCK} , o número total de pessoas que gostam de ROCK será igual a
y + z + q + w = 10 + 6 + 3 + 5 = 24
Portanto, a alternativa (02) é verdadeira.

(04) 36 pessoas gostavam de SAMBA ou ROCK, mas não gostavam de JAZZ.
Sendo A = {gostam de SAMBA}, B = {gostam de ROCK} e C = {gostam de JAZZ}, vemos pela figura anterior que o número de pessoas que gostam de SAMBA ou ROCK mas não gostam de JAZZ será igual a x + y + z = 20 + 10 + 6 = 36
Portanto, a alternativa (04) é verdadeira.

(08) 21 pessoas gostavam de pelo menos dois tipos de música.
A expressão “gostavam de pelo menos dois tipos de música” significa neste caso: “gostam de duas ou três tipos de música”. Olhando a figura acima, concluímos que este número é igual a
y + p + q + w = 10 + 8 + 3 + 5 = 26
Portanto, a alternativa (08) é falsa.

(16) 12 pessoas não gostavam de nenhum dos três tipos de música citadas.
Pela figura acima, vemos imediatamente que o número de pessoas que não gostavam de nenhum dos 3 tipos de música é igual a s.
Já vimos acima que s = 12.
Portanto, a alternativa (16) é verdadeira.

Resposta: 02 + 04 + 16 = 22

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Paulo Marques, 16 de outubro de 2004 - Feira de Santana - BA.

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