UFBA - Os números positivos x, y e z são inversamente proporcionais
a 10, 1 e 5 . Sabendo-se que y - z² - 2x = 0. determine x + y + z .

SOLUÇÃO

Se x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5, então podemos dizer que x, y e z são diretamente proporcionais aos seus inversos multiplicativos, ou seja:
x, y e z são diretamente proporcionais a 1/10, 1/1 e 1/5.
Assim, poderemos escrever a seguinte relação de proporcionalidade direta:

x/(1/10) = y/(1/1) = z/(1/5)

Daí, vem:
10x = y = 5z
Temos então:
10x = 5z, de onde tiramos: z = 2x (dividindo ambos os membros por 5).
10x = y, de onde tiramos: y = 10x
Substituindo os valores acima na expressão dada
y – z² – 2x = 0, vem:
10x – (2x)² – 2x = 0
10x – 4x² – 2x = 0
8x – 4x² = 0
Dividindo ambos os membros por 4, vem:

2x – x² = 0
Colocando x em evidencia, vem: x(2 – x) = 0 e, portanto,
x = 0 ou x = 2.
Como o enunciado do problema diz que x é positivo, vem que somente o valor x = 2 serve.
Ora, se x = 2, então:
y = 10x = 10(2) = 20 e z = 2x = 2(2) = 4.
Assim, a soma x + y + z = 2 + 20 + 4 = 26.

Dividindo 360 por b obtém-se quociente 6 e resto r, sendo b e r dois números naturais. Determine a soma dos valores possíveis para b.

SOLUÇÃO

Sabemos da Aritmética, que:
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
O resto é menor do que o divisor e positivo ou nulo.
No caso, temos:
Dividendo = 360
Divisor = b
Quociente = 6
Resto = r
Podemos escrever:
360 = 6b + r e, portanto, r = 360 – 6b
E, como o resto é positivo ou nulo e menor do que o divisor, vem:
0 £ 360 – 6b < b
Somando 6b a todos os membros, fica:
6b £ 360 < 7b
Podemos dizer então, que:
6b £ 360 (1)
360 < 7b (2)
Dividindo ambos os membros de (1) por 6, vem: b £ 60
Dividindo ambos os membros de (2) por 7, vem: 51,4286 < b
Portanto, 51,4286 < b £ 60
Os valores inteiros possíveis para b, são:
b = 52, 53, 54, ... ou b = 60.
Logo, a soma dos valores possíveis para b será igual a
S = 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 57 + 58 + 59 + 60
Observando que temos a soma dos termos de uma
Progressão Aritmética de razão 1, vem:

S = [(52 + 60).9]/2 = 504

Paulo Marques – Feira de Santana – BA, 29 de julho de 2000.

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