| Equações Trigonométricas II |
FUVEST – O conjunto solução da equação
é:
A) {p/2 + kp ; k Î Z}
B) {p/4 + kp ; k Î Z}
C) {kp ; k Î Z}
D) {kp/2; k Î Z}
E) {kp/4 ; k Î Z}
Solução:
Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus obteremos:
-sen2x.senx.senx + sen2x.cosx.cosx = 0
sen2x.cosx.cosx – sen2x.senx.senx = 0
Colocando sen2x em evidencia, vem:
sen2x(cosx.cosx
– senx.senx) = 0
sen2x.(cos2x
– sen2x) = 0
Lembrando da Trigonometria que cos2x – sen2x = cos2x,
vem:
sen2x.cos2x = 0
Deveremos ter então:
sen2x = 0 OU cos2x = 0.
Para resolver equações trigonométricas desse tipo, onde o segundo membro é nulo, poderemos raciocinar da seguinte forma:
O seno de um arco se anula para os arcos da forma kp, onde k é um número inteiro, ou seja, para os arcos: 0, p, 2p, ...
Portanto, para que tenhamos sen2x =
0, deveremos ter
2x = kp,
de onde vem imediatamente que x = kp/2, com k Î Z.
Analogamente, sabemos que o cosseno de um arco se anula para os arcos da forma kp + p/2, onde k é um número inteiro, ou seja, para os arcos p/2, 3p/2, ...
Assim, para que tenhamos cos2x =
0, deveremos ter
2x = kp
+ p/2,
de onde vem imediatamente que
x = kp/2
+ p/4,
com k Î
Z.
Teremos então, que as soluções procuradas serão:
x = kp/2 OU x = kp/2 + p/4,
com k Î
Z.
Atribuindo valores inteiros a k em ambas soluções,
obteremos:
k = 0 Þ x = 0 ou x = p/4
k = 1 Þ x = p/2 ou x = 3p/4
k = 2 Þ x = p ou x = 5p/4
............................
............................
Resumidamente e ordenadamente, teremos que x assumirá os valores:
..., 0, p/4, p/2, p, 3p/4, 5p/4, ...
Observe que estes arcos são da forma kp/4, com k Î Z; portanto, a alternativa correta é a de letra E.