Uma torre sob vários ângulos

O ângulo sob o qual um observador vê uma torre, duplica quando ele se aproxima 110 metros e triplica quando se aproxima mais 50 metros. Pede-se calcular a altura da torre.

Solução:

Considere a figura abaixo, construída obedecendo os dados do problema, ou seja: o ângulo inicial x, duplica (2x) quando o observador se aproxima 110 m e triplica (3x) quando ele se aproxima mais 50 m.

Se necessário comece revisando Trigonometria.
Observe inicialmente o triângulo ABE. Como o ângulo externo <CBE mede 2x, pelo teorema do 
ângulo externo - TAE os ângulos não adjacentes devem somar 2x. Isto justifica o fato dos ângulos <BAE e <BEA serem congruentes e iguais a x. Então, como os ângulos da base possuem a mesma medida, o triângulo é isósceles, o que justifica o fato de que BE = AB = 110. Observe que o problema só fornece a distância AB. A distância BE foi obtida usando o raciocínio acima.

Pela mesma razão, observando o ângulo externo <DCE de medida 3x, concluímos facilmente que o ângulo <BEC deve medir x, pois 3x = 2x + x.
Só relembrando: o teorema do ângulo externo – TAE - afirma que num triângulo qualquer, cada ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.

Pela simples observação do triângulo retângulo BDE, poderemos escrever:

sen 2x = DE / BE = h / 110 \ h = 110.sen 2x onde h é a altura procurada.

Vamos agora aplicar a lei dos senos ao triângulo BCE. Antes, observe que a medida do ângulo <BCE é igual a 180º - 3x , ou seja, o ângulo oposto ao lado BE é igual a 180º - 3x.

Aplicando a lei dos senos: 50 / sen x = 110 / sen(180 – 3x)

Lembrando que sen(180 – a) = sen a, concluímos que sen(180 – 3x) = sen3x
Logo, a igualdade anterior fica: 50 / senx = 110 / sen3x o que é equivalente a:
50.sen3x = 110.senx

Já sabemos da Trigonometria que sen3x = 3senx – 4sen3x

Substituindo na expressão anterior, vem:
50(3senx – 4sen3x) = 110senx
150senx – 200sen3x = 110senx

150senx – 110senx –200sen3x = 0
40senx – 200sen3x = 0

Colocando senx em evidencia:
senx . (40 – 200sen2x) = 0

Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter
senx = 0 ou 40 – 200sen2x = 0

senx = 0 Þ x = 0, que não satisfaz ao problema pois o ângulo em questão é positivo e menor do que 90º.
Basta visualizar a figura dada para concluir isto.



Teremos então: 40 – 200sen2x = 0 \ 40 = 200sen2x \ sen2x = 40 / 200 = 1 / 5.

Temos pois sen2x = 1/5

Conhecemos sen2x e desejamos conhecer sen2x para usar na igualdade

h = 110.sen2x obtida acima, que resolve a questão.

Existem vários caminhos. Vou escolher um deles, que parece-me mais fácil.

Vamos calcular cos2x e, em seguida, pela Relação Fundamental da Trigonometria,
obter sen2x.

Sabemos que cos2x = 1 – 2sen2x

Substituindo o valor conhecido de sen2x vem:

cos2x = 1 – 2(1/5) = 1 – 2/5 = 5/5 – 2/5 = 3/5

Ora, cos22x + sen22x = 1 (relação fundamental da Trigonometria)
Portanto, substituindo o valor conhecido de cos2x vem:

(3/5)2 + sen22x = 1 e portanto, sen22x = 1 – 9/25 = 25/25 – 9/25 = 16/25

de onde tiramos imediatamente que sen2x = ± 4/5.

Observe que sendo o ângulo x menor do que 90º , somente o valor positivo interessa. Logo,
sen2x = 4/5 e a altura h procurada será então, como vimos acima, igual a
h = 110.sen2x = 110.(4/5) = 440/5 = 88

Portanto, a altura da torre é igual a 88 metros.

Agora resolva este:

No problema anterior, qual a distância do observador ao pé da torre no momento em que o ângulo de visão é o triplo do ângulo inicial, ou seja, qual a medida de CD = y ?

Dica:



Observe na figura que (110 + 50 + y).tg x = h.
Basta calcular tg x, pois h já é conhecido do problema resolvido acima (h = 88 m).
Resposta: 16 metros.

Paulo Marques, 29/01/2003 –, revisado e ampliado em 04/10/2006 - editado em 23/3/12 - Feira de Santana - BA

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