Um presente de Ano Novo - Feliz 2006, 2007, 2008, 2009, ...!

EPUSP 1968 – Mostrar que é inteiro o número



Nota: EPUSP – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.

Solução:

Seja x = a + b onde a é a primeira parcela da soma acima e b a segunda parcela.
Elevando ambos os membros ao cubo, fica:
x3 = (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 (fórmula do cubo de uma soma).

Para os nossos propósitos, poderemos adequar a fórmula acima fatorando a expressão central 3a2b + 3 ab2 da seguinte forma: 
3ab(a + b), resultando:

x3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Observando que a + b = x, vem substituindo na expressão acima:

x3 = a3 + b3 + 3ab.x

Lembrando que a e b são respectivamente a primeira e a segunda parcela da soma dada no problema, precisamos conhecer os termos a3 , b3 e ab para dar prosseguimento à solução.

Ora,







Observe que a3 + b3 = 4.

E, finalmente,





Substituindo os valores encontrados, na igualdade já obtida acima x3 = a3 + b3 + 3ab.x , vem:

x3 = 4 + 3.(2/3).x ou seja: x3 = 4 + 2x

Então, x3 – 2x – 4 = 0.

Observando atentamente, vemos que 2 é raiz da equação acima pois, 23 –2.2 – 4 = 0. Logo, tecnicamente, o problema está resolvido já que sabemos que o número dado é igual a 2, portanto, um número inteiro.

Vamos entretanto, dentro do rigor requerido nos vestibulares da época – ano de 1968 - resolver esta equação do terceiro grau 
x3 – 2x – 4 = 0 .

Resolvendo a equação x3 – 2x – 4 = 0

Resolver problemas de Matemática, requer muitas vezes, enxergar três ou mais lances à frente. Alguns conseguem, outros não, num primeiro momento.
Mas, uma coisa é certa: todos conseguem com o tempo.
Lembre-se que MATEMÁTICA é inspiração + transpiração!

Olhando o “jeitão” (desculpem a forma coloquial) da equação dada, vemos que é possível simplificá-la adicionando o valor (8 – 8) = 0 ao primeiro membro, o que não modificará a igualdade, já que a adição de zero não muda o valor da soma. Então:

x3 – 2x – 4 + 8 – 8 = 0
A igualdade acima é equivalente a   (x3 – 8) – 2x + 4 = 0
Esta igualdade pode ser arrumada na forma:
(x3 – 8) – 2(x – 2) = 0

Para os bons observadores (e para aqueles nem tanto), já dá para enxergar o benefício da introdução do (8 – 8) na equação dada.

Ocorre que
x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2)(x2 + 2.x2-1 + 23-1 = (x – 2).(x2 + 2x + 4)
Nota: isto decorre da expressão geral: xn – an = (x-a)(xn-1 + a.xn-2 + a2.xn-3 + ... + an – 1)
No presente caso, temos n = 3 e a = 2.

Substituindo na equação original, vem:

(x – 2).(x2 + 2x + 4) – 2(x – 2) = 0

Colocando o termo (x – 2) em evidencia, fica:

(x – 2) (x2 + 2x + 4 – 2) = 0

Simplificando:
(x – 2).(x2 + 2x + 2) = 0

Sabemos que se P.Q = 0 então P = 0 ou Q = 0.

Então, de (x – 2).(x2 + 2x + 2) = 0, inferimos que x – 2 = 0 ou x2 + 2x + 2 = 0.
Da primeira igualdade x – 2 = 0, vem imediatamente que x = 2.

Da segunda igualdade x2 + 2x + 2 = 0 (uma equação do segundo grau), vem pela fórmula de Bhaskara (matemático hindu do século XII):
Nota: Você sabia que a fórmula atribuída a Bhaskara não foi descoberta por ele e, sim, por outro matemático hindu do século XI - Sridhara - portanto um século antes?




Lembre-se de Números Complexos que Ö-1 = i, onde i é a unidade imaginária.

Portanto, a equação dada possui três raízes, a saber: 2, (-1 + i) e (–1 – i).
A equação possui então, uma única raiz real (x = 2) e duas raízes complexas.

Concluímos pois, que o número dado é igual a 2 e, portanto, um inteiro, o que resolve definitivamente o problema proposto.

Notas:
1 – parabenizamos (se é que temos autoridade para isto) aos Engenheiros que passaram no vestibular da EPUSP em 1968 e que conseguiram resolver este problema.
Naquela época, as questões eram discursivas, ou seja, não bastava marcar uma alternativa. Os cálculos para apresentação da solução, tinham que ser explicitados numa folha de cálculo e corrigidos por uma banca de examinadores atenta a todos os detalhes.

2 – agradecemos ao visitante do site que nos enviou esta questão para solução.


Paulo Marques, Feira de Santana – BA – 31 de dezembro de 2005, revisto e ampliado em 23/05/2009

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